---
status: stable
type: concept
tags:
- math
- ml
- mephi
- statistics
- time-series
created: 2026-02-13
updated: 2026-05-07
aliases:
- Модели АРПСС. Методология Бокса-Дженкинса
---
# Модели АРПСС. Методология Бокса-Дженкинса
## Модели АРПСС (ARIMA)

Модели Бокса-Дженкинса относятся к классу одномерных моделей, где текущее значение ряда зависит только от его собственной предыстории.

**Процесс АРПСС (**$p, d, q$**)** — это **интегрированный процесс авторегрессии со скользящим средним в остатках**.

- Если ряд является интегрированным $d$-го порядка, и его $d$-я разность описывается процессом ARMA($p, q$), то исходный процесс — ARIMA($p, d, q$).

### Базовые Компоненты Модели

1. **Авторегрессия (**$AR(p)$**):** Текущее значение ряда зависит от его **прошлых** $p$ **значений** ($x_{t-1}, \dots, x_{t-p}$).
    - **Условие стационарности AR:** Все корни характеристического уравнения должны лежать **вне** единичного круга по модулю ($|z_j|>1$).
2. **Скользящее среднее (**$MA(q)$**):** Текущее значение ряда зависит от **текущего и прошлых**  $q$ **случайных ошибок** ($\epsilon_t, \dots, \epsilon_{t-q}$).
    - **Условие стационарности MA:** Процесс $MA(q)$ стационарен при любых значениях параметров $\beta_i$.
3. **Белый шум (**$\epsilon_t$**):** Случайный шум, который является остатками, не имеющими автокорреляции ($\rho_k = 0$ при  $k \neq 0$) и имеющими постоянную дисперсию ($\sigma^2_{\epsilon} > 0$).

## III. Методология Бокса-Дженкинса (4 этапа)

Методология представляет собой процедуру подбора оптимальной модели  $ARIMA(p, d, q)$.

### 1. Этап 1: Идентификация Модели (Определение $d, P, q$)

Цель — определить структуру модели.

- **Шаг 1. Определение** $d$ **(Порядка интегрированности):**
    - Сначала проверяется стационарность ряда (визуально или с помощью тестов, таких как **расширенный критерий Дики-Фуллера (ADF)** или **KPSS-тест**).
    - Если ряд нестационарен, берутся разности ($\Delta x_t$), и процесс повторяется до получения стационарного ряда. $d$ — это количество взятых разностей.
- **Шаг 2. Определение порядков** $p$ **и**  $q$**:**
    - Анализируются графики **автокорреляционной функции (АКФ)** и **частной автокорреляционной функции (ЧАКФ)** для стационарных разностей ряда.
    - Порядок **АР (**$p$**):** определяется по **обрыву** ЧАКФ (PACF). Обрыв — когда коэффициент незначимо отличается от нуля ($<\pm 1.96/\sqrt{T}$).
    - Порядок **СС (**$q$**):** определяется по **обрыву** АКФ (ACF).
    - Для смешанных моделей (АРСС) АКФ и ЧАКФ затухают (бесконечно убывающие).

### 2. Этап 2: Оценивание Модели

- Параметры выбранных моделей-кандидатов оцениваются (обычно с использованием точного или условного **метода максимального правдоподобия (ММП)**).

### 3. Этап 3: Проверка Адекватности Модели (Диагностика)

Проверка того, что остатки модели соответствуют белому шуму. Если модель неадекватна, возвращаются к Этапу 1 или 2.

- **Критерии проверки:**
    1. **Значимость коэффициентов**.
    2. **Анализ остатков:** Остатки должны быть нормально распределены, некоррелированы (проверяется с помощью АКФ/ЧАКФ остатков или **Q-статистик Бокса-Пирса/Бокса-Льюнга**) и иметь постоянную дисперсию (проверяется **тестом на ARCH-эффект**).
- **Выбор лучшей модели:** Если несколько моделей адекватны, выбирается та, которой соответствует **минимальное значение информационных критериев**:
    - Критерий Акаике (AIC).
    - Критерий Шварца (BIC).
    - Критерий Хеннана-Куинна (HQ).

### 4. Этап 4: Прогнозирование

- Лучшая модель используется для прогнозирования будущих значений ($x_{T+h}$).
- Наилучшим является прогноз, который минимизирует среднеквадратическую ошибку прогноза, что достигается использованием **условного математического ожидания**  $E(x_{T+h} | x_T, x_{T-1}, \dots)$.
- На практике также могут быть построены доверительные интервалы для прогноза, и может быть сформирован **обобщенный прогноз** (портфель моделей).