---
status: seed
type: concept
tags:
- math
- mephi
- statistics
- time-series
created: 2026-01-21
updated: 2026-05-07
aliases:
- Тесты На Единичный Корень
---
# Тесты На Единичный Корень
## Модели Единичного Корня
Нестационарный случайный процесс $x_{t}$ называется **интегрированным порядка $d \geq 1$** ($I(d)$), если 
- ряд $x_{t}$ нестационарен (или стационарен относительно детерминированного тренда)
- разности порядка $d: \Delta^{d}x_{t}$ стационарны
- разности меньших порядков нестационарны

**Смысл**: $x_{t}$ является $I(d)$, если операция вычисления разностей порядка $d$ приводит нестац. случ. проц. $x_{t}$ к стац. ряду.
Впервые при данном значении порядка разностей $d$.

## Процессы Единичного Корня
Процессы $I(d)$ называют процессом единичного корня, потому что:
- характеристическое уравнение модели содержит корень "$1$"
- наличие ед. корня => стохастический тренд

## Модель $AR(1)$ С Трендом
Р/м модель $x_{t}=\alpha_{0}+\beta t +\alpha_{1}x_{t-1}+\epsilon_{t}$
1) Если $\alpha_{0} \neq 0,\ \beta=0$^
   - $|\alpha_{1}|<1$ => стац. ряд, тренда нет
   - $a_{1}=1$ => DS-ряд
1) $\beta \neq 0,\ \alpha_{0} \neq 0$:
   - $|\alpha_{1}|<1$ => $TS$
   - $\alpha_{1}=1$ => $DS$

| TS                                   | DS                                             |
| ------------------------------------ | ---------------------------------------------- |
| Тренд детерминирован                 | Тренд стохастичен                              |
| Убирается детерминированием          | Убирается дифференцированием                   |
| После вычитания тренда - стационарен | После вычитание тренда - все ещё нестационарен |
| Нет единичного корня                 | есть единичный корень                          |
Неверный способ удаления тренда приводит к проблемам:
1) Детерминированный DS-ряд
   - искажение спектра
   - лишняя переодичность
1) Разностирование $TS$-ряда
   - передифференцирование
   - сложности в оценивании модели

Таким образом TS и DS ряды визуально трудно различимы, поэтому обязательно применяются тесты на единичный корень, от которого зависит корректный выбор.

## Тест Д-Ф Без Константы
**<u>Тест Дики-Фуллера</u>** - это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа ВР для проверки на стационарность

Модель без константы: $x_{t}=\alpha x_{t-1} + \epsilon_{t}$
$H_{0}: \alpha = 1$ - ряд нестационарный, содержит единичный корень, описывается процессом случайного блуждания.
$H_{1}: |\alpha|<1$ - ряд стационарен, не содержит единичный корень, описывается стационарным авторегрессионным процессом 1-го порядка.

$$x_{t}-x_{t-1}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}-x_{t-1}+\phi t+\epsilon_{t} \implies $$$$\implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+(\alpha_{1}-1)*x_{t-1}+ \phi t + \epsilon_{t}$$
Обозначим $(\alpha-1) =b$: $$\Delta x_{t}=b*x_{t-1}+\epsilon_{t}$$
Новые гипотезы:
$H_{0}: \alpha=1 \to b=0$: Если ряд содержит единичный корень, то коэффициент $b$ незначим
$H_{1}: |\alpha| <1 \to b < 0$: Если ряд стационарен, то $b$ значимый и отрицательный

**Идея теста**: оценить уравнение обычным МНК и проверить значимость коэффициента $b$ при помощи $t$-статистики: $\hat{t}=\hat{b}/SE(\hat{b})$, где $SE(b)$ - стандартная ошибка.
В данном случае, $t$-статистика имеет распределение Дики-Фуллера. 
Если рассчитанное значение статистики оказалось левее критического, то нулевая гипотеза отклоняется -> ряд стационарен.

## Тест Д-Ф С Константой
Модель с константой: $x_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}+\epsilon_{t}$

$H_{0}: \alpha_{1}=1$ - ряд НС., содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом случ. блуждания с дрейфом.
$H_{1}: |\alpha_{1}|<1$ - ряд С., не содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом 1-го порядка.
$$x_{t}-x_{t-1}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}-x_{t-1}+\epsilon_{t} \implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+(\alpha_{1}-1)*x_{t-1}+ \epsilon_{t}$$
Обозначим $(\alpha-1) =b$: $$\Delta x_{t}=\alpha_{0}+b*x_{t-1}+\epsilon_{t}$$
## Тест Д-Ф С Константой И Трендом
Модель: $x_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}+\phi t +  \epsilon_{t}$
$H_{0}: \alpha_{1}=1$ - ряд НС., содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом случ. блуждания с дрейфом.
$H_{1}: |\alpha_{1}|<1$ - ряд С., не содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом 1-го порядка.

При $|\alpha_{1}|<1$ и $\phi \neq 0$ -> $x_{t}$ стац. относительно линейного тренда $(TS)$
В этом случае, ряд $z_{t}=x_{t}-\phi t$ стационарен.

$$x_{t}-x_{t-1}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}-x_{t-1}+\phi t+\epsilon_{t} \implies $$$$\implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+(\alpha_{1}-1)*x_{t-1}+ \phi t + \epsilon_{t}$$
Обозначим $(\alpha-1) =b$: $$\Delta x_{t}=\alpha_{0}+b*x_{t-1}+\phi t+\epsilon_{t}$$
## Расширенный Тест Д-Ф
Обобщение критерия Д-Ф для учета авторегрессии $p$-порядка составляет суть расширенного критерия Д-Ф ($ADF$-тест)

Общий случай без константы: $x_{t}=\alpha_{1}x_{t-1}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t}$
$H_{0}$: ряд является НС, содержит единичный корень
$H_{1}$: ряд является стационарным процессом $AR(p)$

$$x_{t}-x_{t-1}=(\alpha_{1}x_{t-1}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t})-x_{t-1} \implies$$
$$\implies \Delta x_{t}=(\alpha_{1}-1) x_{t-1}+\alpha_{2}x_{t-2}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t}$$
**Оценка уравнения**:
$$\Delta x_{t}=b*x_{t-1}+c_{1}*\Delta x_{t-1}+\dots+c_{p-1}*\Delta x_{t-p+1}+\epsilon_{t}$$
$$(\Delta x_{t}= \gamma*x_{t-1}+\sum\limits_{t=1}^{p-1}\phi_{i} \Delta x_{t-1}+\epsilon_{t})$$
Расчетное значение статистики: $\hat{t} = \frac{\hat{b}}{SE(\hat{b})}$
*Модель с константой:*
$$x_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}x_{t-1}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t} \implies$$
$$\implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+bx_{t-1}+c_{1} \Delta x_{t-1}+\dots+c_{p-1} \Delta x_{t-p+1} +\epsilon_{t}$$
$$(\Delta x_{t}=\mu+\gamma x_{t-1}+\sum\limits_{t=1}^{p-1}\phi_{i} \Delta x_{t-1}+\epsilon_{t})$$
*Модель с константной с трендом:*
$$x_{t}=\alpha_{0}\alpha_{1} x_{t-1} + \dots + \alpha_{p} x_{t-p}+\phi t + \epsilon_{t} \implies$$
$$\implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+b x_{t-1}+c_{1} \Delta x_{t-1} + \dots + c_{p-1} \Delta x_{t-p+1}+ \phi t + \epsilon_{t}$$
$$(\Delta x_{t}=\mu+\beta t + \gamma x_{t-1} + \sum\limits_{t=1}^{p-1}\phi_{i} \Delta x_{t-1} +\epsilon_{t})$$

В данном случае, $t$-статистика имеет распределение Дики-Фуллера. 
Если рассчитанное значение статистики оказалось левее критического, то нулевая гипотеза отклоняется -> ряд стационарен.

Критическое значение расширенного критерия Д-Ф. совпадают с критическим значением обычного критерия Д-Ф., роль дополнительной авторегрессионной компоненты сводится к тому, чтобы исключить автокорреляцию остатков, при которой тест не работает.

Ограничения:
1) Не включать лишние регрессоры (мощность снижается)
2) Чувствительность к выбору числа лагов
3) Не применять при негомоскедастичности остатков
4) Ложное принятие при наличии структурных сдвигов
5) Некорректно использовать при наличии нескольких единичных корней