---
status: stable
type: concept
tags:
  - mephi
  - math
  - statistics
  - factor-analysis
created: 2026-01-20
updated: 2026-05-07
title: Процедура Построения Первой И Остальных Главных Компонент
---

# Процедура Построения Первой И Остальных Главных Компонент
## Процедура Построения Первой ГК
Используется метод множителей Лагранжа:
1) **Ф-я Лагранжа**:
    $\phi(U,\lambda)=U_{1}^{T}\Sigma_{X}U_{1}-\lambda(U_{1}^{T}U_{1}-1)\to\max$.
2) **Нахождение производных**:
   Дифференцирование по $U$ приводит к: $(\Sigma_{X}-\lambda E)U_{1}=0$
3) **Составление характеристического уравнения**:
   Чтобы система имела ненулевое решение, определитель матрицы должен быть равен нулю.
4) **Поиск собственных чисел**:
   Решение дает $k$ вещественных неотрицательных корней $\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{k}$, которые являются Собственными Числами матрицы $\Sigma_{X}$
5) **Выбор максимума**:
   Т.к. дисперсия первой компоненты $D(Z_{1})=\lambda_{1}$, то в качестве первой ГК выбирается решение, соответствующее наибольшему Собственному Числу.

## Построение Последующих Компонент
- Каждая следующая компонента $Z_{s}$ соответствует следующему по величене СЧ $\lambda_{s}$ из упорядоченного по убыванию ряда СЧ.
- Коэффициенты $U_{s}$ для каждой компоненты являются Собственными Векторами матрицы $\Sigma_{X}$, соответствующими найденным числам $\lambda_{s}$
- Суммарная дисперсия всех ГК совпадает с суммарной дисперсией исх. признаков.