---
status: seed
type: concept
tags:
  - math
created: 2025-12-17
updated: 2026-03-05
title: Доказательство законов Де Моргана
---

# Доказательство законов Де Моргана


## $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

$$1 - \mu_{A \cup B}(u)=1 - \max (\mu_{A}(u);\ \mu_{B}(u))$$
$$\overline{A} \cap \overline{B} = \min(1-\mu_{A}(u);\ 1-\mu_{B}(u))$$
Предположим, что $\mu_{B}(u) > \mu_{A}(u)$, тогда $1-\mu_{B}(u)=1-\mu_{B}(u)$

## $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

$$1-\mu_{A \cap B}=1 -min(\mu_{A}(u);\ \mu_{B}(u))$$
$$\overline{A} \cup \overline{B} = max(1 - \mu_{A}(u);\ 1-\mu_{B}(u))$$
Пусть $\mu_{B}(u)>\mu_{A}(u)$, тогда $1-\mu_{A}(u)=1-\mu_{A}(u)$

## $\overline{A * B} = \overline{A} + \overline{B}$

$$(\mu_{\overline{A}}(u) + \mu_{\overline{B}}(u) - \mu_{\overline{A}}(u)\mu_{\overline{B}}(u)) = $$
$$= 1-\mu_{A}(u) + 1 - \mu_{B}(u) - 1 + \mu_{A}(u) + \mu_{B}(u)-\mu_{A}(u)\mu_{B}(u)=$$
$$= 1 - \mu_{A}(u) \mu_{B}(u)$$ 
## $\overline{A + B} = \overline{A} * \overline{B}$

$$(1-\mu_{A}(u))*(1-\mu_{B}(u)) = 1-\mu_{A}(u)-\mu_{B}(u)+\mu_{A}(u)\mu_{B}(u) = $$
$$1 - (\mu_{A}(u)+\mu_{B}(u)-\mu_{A}(u)\mu_{B}(u))$$