---
status: seed
type: concept
tags:
  - math
  - mephi
  - decision-making
created: 2026-05-29
updated: 2026-05-29
title: Метод анализа иерархий
source: "[[МИАД_Л4_иерархии.pdf]]"
---

# Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий (МАИ) используется для выбора лучшей альтернативы при нескольких критериях, в том числе разнородных и качественных.

## Идея

Задача выбора раскладывается на иерархию:
- цель;
- критерии и подцели;
- альтернативы.

Затем элементы каждого уровня попарно сравниваются по влиянию на элемент верхнего уровня.

## Шкала Саати

Попарные сравнения обычно задаются 9-балльной шкалой:
- `1` — нет преимущества;
- `3` — слабое преимущество;
- `5` — существенное преимущество;
- `7` — явное преимущество;
- `9` — абсолютное преимущество;
- `2`, `4`, `6`, `8` — промежуточные оценки;
- обратные значения — преимущество в обратную сторону.

Матрица сравнений обратно-симметрична:

$$a_{ij} = \frac{1}{a_{ji}}$$

## Этапы

1. Описать проблему и цель.
2. Построить иерархию критериев и альтернатив.
3. Построить матрицы попарных сравнений.
4. Вычислить локальные приоритеты.
5. Проверить согласованность матриц.
6. Повторить сравнения для всех уровней.
7. Синтезировать глобальные приоритеты альтернатив.
8. Оценить согласованность всей иерархии.

## Локальные приоритеты

Для матрицы попарных сравнений веса можно приближённо вычислить как среднее геометрическое строк:

$$w_j = \sqrt[n]{\prod_{l=1}^{n} a_{jl}}$$

После этого веса нормируются, чтобы получить вектор приоритетов.

## Согласованность

Полностью согласованная матрица обладает транзитивностью:

$$a_{ij} = a_{ik}a_{kj}$$

На практике экспертные суждения обычно не полностью согласованы, поэтому считают индекс согласованности:

$$CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1}$$

И отношение согласованности:

$$CR = \frac{CI}{RI}$$

Обычно приемлемым считают $CR \le 10\%$.

## Результат

Итог МАИ — глобальные приоритеты альтернатив. Чем выше приоритет, тем предпочтительнее альтернатива в рамках построенной иерархической модели.

## Связанные заметки
- [[Функция принадлежности]]