---
status: processing
type: concept
tags:
- math
- mephi
- fuzzy-sets
created: 2025-12-17
updated: 2026-05-29
source: '[[МИАД_Л1.pdf]]'
aliases:
- Логические операции над нечеткими множествами
---
# Логические операции над нечеткими множествами

## Терминология

Пусть $A$ и $B$ - нечеткие множества универсума $U$.
Нечеткое множество $A$ называется *<u>пустым</u>*, если $\mu_{A}(u) = 0,\ \forall u \in U$

*<u>Носителем</u>* нечеткого множества $A$ называется подмножество таких точек $U$, для которых величина функции принадлежности положительна: $$S(A)=Sup\ \mu(A) = \{u|u \in U, \mu_{A}(u)>0\}$$
*<u>Высотой</u>* множества $A$ называется максимальное значение х.ф.: $$h(A)=sup\ \mu_{A}(u)$$
Множество $A$ называется *<u>нормальным</u>*, если его высота равна 1. 
В противном случае оно называется *субнормальным*. Любое субнормальное множество можно сделать нормальным.

Элементы множества $U$, для которых $\mu_{A}(u)=0.5$, являются *точками перехода* нечеткого множества $A$.

## Дизъюнкция
Дизъюнкцией (объединением) нечетких множеств называют наименьшее подмножество $A \cup B$, включающее как $A$, так и $B$, с функцией принадлежности вида: $$\mu_{A\cup B}(u) = \max(\mu_{A}(u)\mu_{B}(u)),\ u \in U$$![[Pasted image 20260227193130.png|400]]

## Конъюнкция
Конъюнкцией (пересечением) нечетких множеств называют наибольшее подмножество $A \cap B$, содержащееся одновременно и в $A$, и в $B$, с функцией принадлежности вида: $$\mu_{A \cap B}(u) = \min(\mu_{A}(u),\mu_{B}(u)),\ u \in U$$
![[Pasted image 20260227194025.png|400]]

## Дополнение
Дополнением (отрицанием) нечеткого множества $A$ называют нечеткое множество $\overline{A}$ с функцией принадлежности: $$\mu_{\overline{A}}(u) = 1 - \mu_{A}(u),\ u \in U$$
![[Pasted image 20260227194309.png|400]] 

## Разность
Разностью двух множеств называется множество $A - B = A \cap \overline{B}$ с функцией принадлежности: $$\mu_{A-B}(u)=\mu_{A \cap \overline{B}}(u) = \min(\mu_{A}(u),\mu_{\overline{B}}(u)) = \min(\mu_{A}(u), 1-\mu_{B}(u))$$

## Дизъюнктивная сумма

Дизъюнктивная сумма:

$$A \oplus B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$$

$$\mu_{A \oplus B}(u) = \max(\min(\mu_A(u), 1 - \mu_B(u)), \min(1 - \mu_A(u), \mu_B(u)))$$

## Свойства

Для конъюнкции и дизъюнкции выполняются:
- коммутативность;
- ассоциативность;
- идемпотентность;
- дистрибутивность;
- инволюция;
- законы де Моргана.

Не выполняются классические свойства дополнения:

$$A \cup \overline{A} \ne U$$

$$A \cap \overline{A} \ne \varnothing$$

## Алгебраические операции

Алгебраическое произведение:

$$\mu_{A \cdot B}(u) = \mu_A(u)\mu_B(u)$$

Алгебраическая сумма:

$$\mu_{A + B}(u) = \mu_A(u) + \mu_B(u) - \mu_A(u)\mu_B(u)$$

Степень нечеткого множества:

$$\mu_{A^\alpha}(u) = \mu_A^\alpha(u)$$

При $\alpha = 2$ получается концентрирование, при $\alpha = 0.5$ — растяжение.

## Нечеткие операторы

Операции объединения, пересечения и отрицания можно обобщать разными способами.

Треугольная норма — обобщение конъюнкции. Примеры: минимум, алгебраическое произведение, t-норма Лукасевича.

Треугольная конорма — обобщение дизъюнкции. Примеры: максимум, алгебраическая сумма, t-конорма Лукасевича.

Основные пары операций:
- логика Заде — `min` и `max`;
- вероятностная логика — алгебраическое произведение и алгебраическая сумма;
- логика Лукасевича — t-норма и t-конорма Лукасевича.

## Связанные заметки
- [[Линейные модели]] — линейная разделимость в ML (жёсткая граница) vs нечёткие операции (мягкая граница); оба решают задачу разделения классов
- [[Функция принадлежности]] — операции определены через μ
- [[Нечеткий вывод]] — разные импликации используют разные операции над функциями принадлежности