Auto | arch-x1: 2026-06-03 20:54:06

2026-06-03 20:54:06 +03:00
parent 05c9d664b5
commit f6da620f46
3 changed files with 7 additions and 9 deletions
@@ -0,0 +1,8 @@
+---
+status: seed
+type: concept
+tags: []
+created: 2025-12-17
+updated: 2026-02-27
+aliases: []
+---
@@ -0,0 +1,193 @@
+---
+status: seed
+type: concept
+tags:
+  - math
+  - mephi
+  - fuzzy-sets
+created: 2026-05-29
+updated: 2026-05-29
+title: Краткая теория с важными формулами по нечетким выводам
+---
+
+# Краткая теория с важными формулами по нечетким выводам
+
+Нечеткий вывод — способ получить заключение из правил вида «если ..., то ...», когда входы, условия и выводы описаны через степени принадлежности, а не через строгие булевы значения.
+
+Базовая идея: четкие входы переводятся в степени принадлежности, правила активируются с разной силой, их выводы объединяются, а при необходимости результат переводится обратно в четкое число.
+
+Связано: [[Нечеткий вывод]], [[Теория нечетких множеств]], [[Функция принадлежности]], [[Нечеткие отношения]], [[Логические операции над нечеткими множествами]].
+
+## Нечеткое множество
+
+Нечеткое множество $A$ на универсуме $X$ задается функцией принадлежности:
+
+$$
+\mu_A: X \to [0, 1]
+$$
+
+где $\mu_A(x)$ — степень принадлежности элемента $x$ множеству $A$.
+
+Классическая запись:
+
+$$
+A = \{(x, \mu_A(x)) \mid x \in X\}
+$$
+
+## Правило нечеткого вывода
+
+Типовое правило:
+
+$$
+R_i: \text{если } x_1 \text{ есть } A_{i1} \land \dots \land x_n \text{ есть } A_{in}, \text{ то } y \text{ есть } B_i
+$$
+
+Для четкого входа $x^* = (x_1^*, \dots, x_n^*)$ сначала считаются степени выполнения условий:
+
+$$
+\mu_{A_{ij}}(x_j^*)
+$$
+
+Сила активации правила:
+
+$$
+\alpha_i = T(\mu_{A_{i1}}(x_1^*), \dots, \mu_{A_{in}}(x_n^*))
+$$
+
+где $T$ — t-норма. Частые варианты:
+
+$$
+T(a, b) = \min(a, b)
+$$
+
+$$
+T(a, b) = a \cdot b
+$$
+
+Для дизъюнкции часто используют s-норму:
+
+$$
+S(a, b) = \max(a, b)
+$$
+
+или
+
+$$
+S(a, b) = a + b - ab
+$$
+
+## Схема нечеткого вывода
+
+1. Фаззификация — вычислить степени принадлежности входов термам.
+2. Агрегация условий — получить силу активации каждого правила $\alpha_i$.
+3. Импликация — применить $\alpha_i$ к заключению правила.
+4. Аккумуляция — объединить результаты всех правил.
+5. Дефаззификация — получить четкое значение, если оно нужно.
+
+## Мамдани
+
+В выводе Мамдани заключение правила остается нечетким множеством.
+
+Импликация через минимум:
+
+$$
+\mu_{B_i'}(y) = \min(\alpha_i, \mu_{B_i}(y))
+$$
+
+Объединение правил через максимум:
+
+$$
+\mu_B(y) = \max_i \mu_{B_i'}(y)
+$$
+
+Центроидная дефаззификация:
+
+$$
+y^* = \frac{\int_Y y \mu_B(y) dy}{\int_Y \mu_B(y) dy}
+$$
+
+Для дискретного универсума:
+
+$$
+y^* = \frac{\sum_k y_k \mu_B(y_k)}{\sum_k \mu_B(y_k)}
+$$
+
+Мамдани удобен, когда важно получить интерпретируемые правила с лингвистическими заключениями.
+
+## Ларсен
+
+В импликации Ларсена заключение не отсекается, а масштабируется:
+
+$$
+\mu_{B_i'}(y) = \alpha_i \cdot \mu_{B_i}(y)
+$$
+
+Дальше результаты правил обычно объединяются максимумом:
+
+$$
+\mu_B(y) = \max_i \mu_{B_i'}(y)
+$$
+
+## Сугено
+
+В выводе Сугено заключение правила — четкая функция входов:
+
+$$
+R_i: \text{если } x \text{ есть } A_i, \text{ то } z_i = f_i(x)
+$$
+
+Частый вариант первого порядка:
+
+$$
+z_i = p_{i0} + p_{i1}x_1 + \dots + p_{in}x_n
+$$
+
+Итог:
+
+$$
+z^* = \frac{\sum_i \alpha_i z_i}{\sum_i \alpha_i}
+$$
+
+Если $z_i$ — константа, получается Сугено нулевого порядка.
+
+## Цукамото
+
+В методе Цукамото заключения правил должны иметь монотонные функции принадлежности. Для каждого правила находится четкое значение $z_i$ из условия:
+
+$$
+\mu_{B_i}(z_i) = \alpha_i
+$$
+
+Итоговое значение:
+
+$$
+z^* = \frac{\sum_i \alpha_i z_i}{\sum_i \alpha_i}
+$$
+
+## Композиционное правило вывода
+
+Если $A$ — нечеткое множество на $X$, а $R$ — нечеткое отношение на $X \times Y$, то вывод:
+
+$$
+B = A \circ R
+$$
+
+Максиминная композиция:
+
+$$
+\mu_B(y) = \max_{x \in X} \min(\mu_A(x), \mu_R(x, y))
+$$
+
+Макс-произведение:
+
+$$
+\mu_B(y) = \max_{x \in X} \mu_A(x) \cdot \mu_R(x, y)
+$$
+
+## Что запомнить
+
+- Мамдани: нечеткое заключение, минимум для импликации, максимум для объединения, затем дефаззификация.
+- Ларсен: заключение масштабируется произведением.
+- Сугено: заключение — формула или константа, итог — взвешенное среднее.
+- Цукамото: монотонные заключения, каждое правило дает четкий результат.
+- Главная формула силы правила: $\alpha_i = T(\mu_{A_{i1}}(x_1^*), \dots, \mu_{A_{in}}(x_n^*))$.