vault backup: 2026-05-14 10:49:10

2026-05-14 10:49:10 +03:00
parent 4bbc91d147
commit 7f34f1d9f5
217 changed files with 62 additions and 62 deletions
@@ -0,0 +1,45 @@
+---
+status: seed
+type: concept
+tags:
+  - math
+  - mephi
+  - statistics
+  - factor-analysis
+created: 2026-01-20
+updated: 2026-05-07
+title: Этапы ФА. Выделение Факторов
+---
+
+# Этапы ФА. Выделение Факторов
+## Этапы Факторного Анализа
+![[Pasted image 20260120213958.png|600]]
+
+1) Стандартизация данных
+2) По $x$ вычисляем корреляционная матрица $R$.
+3) Проверка гипотезы о незначимости $R_{x}$
+4) Оценка общностей
+5) Выделение числа факторов (Критерий Кайзера, Лоули, график "Каменистой осыпи")
+6) Нахождение матрицы факторных нагрузок $A$ из $R=A*A^{T}$
+7) Вращение факторов (матрицы $A$) для получения наилучшей интерпретации
+8) Матрица индивидуальных значений $(F:U)$ и оценка значений факторов
+
+## Выделение Факторов
+Установление числа факторов и направления осей координат, соответствующих общим факторам.
+
+С вычислительной точки зрения: проблема факторов означает определение ранга матрицы $A$ и оценивание её элементов:
+1) Метод Главных Факторов
+2) Метод Максимального Правдоподобия
+
+---
+
+**<u>Матричное уравнение</u>** $R_{h}=AA^{T}$ имеет множество решений: любое ортогональное преобразование $B$, переводящее $A$ в $G$, т.е. $G=AB$, ему удовлетворяет:
+$$\implies A=GB^{T} \implies [B^{-1}=B^{T}] \implies R_{h}=GB^{T}(GB^{T})^{T} =$$ $$= GB^{T}BG^{T}=GEG^{T}=GG^{T}$$
+**<u>Требование</u>**: каждая следующая ось ориентированная по направлению $max$ дисперсии в пространстве, ортогональном предыдущей ГК.
+Матрица весовых коэффициентов составлена из СВ. корреляционной матрицы $R$.
+
+Матрица весовых коэффициентов составлена из СВ корреляционной матрицы $R$:
+$R_{h}U=U\lambda | * U^{-1}$ ($\lambda$ - матрица на диагоналях СЗ корреляционной матрицы)
+$R_{h}UU^{-1}=U\lambda U^{1}$
+$R_{h}=U\lambda U^{-1}=U\lambda U^{T} = U\lambda^\frac{1}{2}\lambda^{1/2}U^{T}=AA^{T}$, где $A=U\lambda^{1/2}$ 
+$A$ получаем, применяя МГК к $R_{n}$, и $A$ будет матрицей факторного отображения.