vault backup: 2026-05-14 10:49:10

90 Library/03 Math/Статистика/Факторный анализ/Алгоритм оценки главных компонент.md

@@ -0,0 +1,38 @@
+---
+status: seed
+type: concept
+tags:
+  - math
+  - mephi
+  - statistics
+  - factor-analysis
+created: 2026-01-20
+updated: 2026-05-07
+title: Алгоритм Оценки Главных Компонент
+---
+
+# Алгоритм Оценки Главных Компонент
+1) **<u>Подготовка исходных данных</u>**
+   - **Центрирование**:
+     $$x_{ij}^{*}=x_{ij}-\overline{x_{j}}$$
+   - **Нормирование**:
+     $$x_{ij}^{*}=\frac{x_{ij}-\overline{x_{j}}}{\sigma_{j}}$$
+1) **<u>Вычисление выборочной матрицы</u>**
+   Расчет выборочной ковариационной матрицы $\hat{\Sigma}$, которая описывает структуру связей между признаками.
+2) **<u>Проверка значимости корреляционной матрицы (Критерий Бартлетта)</u>**
+   Перед поиском компонент необходимо убедиться, что признаки вообще коррелированы между собой.
+   - **Гипотеза $H_{0}$**: Матрица единична $(R=E)$, т.е. признаки не коррелированы.
+   - **Статистика критерия**: $\chi^{2}=-[n-1-\frac{2k+5}{6}]\ln|\hat{R}|$
+   - Если расчетное значение больше критического, то проведение МГК считается целесообразным.
+1) **<u>Расчет СЧ и СВ</u>**
+2) **<u>Определение количества ГК</u>**
+   Из $k$ возможных компонент отбирают $m$ наиболее информативных.
+   - **Критерий Кайзера**: $\lambda_{s} > 1$
+   - **Доля дисперсии**: Суммарная дисперсия должна составлять $70-80\%$
+   - **Каменистая Осыпь**: Визуальный анализ графика СЧ.
+1) **<u>Оценка матрицы факторных нагрузок</u>**
+   $$A = U^{T}\lambda^{\frac{1}{2}}$$
+2) **<u>Расчет индивидуальных значений</u>**
+   $$\hat{Z}=X\hat{U}$$
+3) **<u>Интерпретация результатов</u>**
+   На основе наиболее весомых нагрузок в матрице $A$ каждой ГК присваивается содержательное название.