vault backup: 2026-05-24 15:03:28

90 Library/Math/Статистика/Факторный анализ/Основные числовые характеристики главных компонент.md

@@ -0,0 +1,34 @@
+---
+status: stable
+type: concept
+tags:
+  - mephi
+  - math
+  - statistics
+  - factor-analysis
+created: 2026-01-20
+updated: 2026-05-07
+title: Основные Числовые Характеристики Главных Компонент
+---
+
+# Основные Числовые Характеристики Главных Компонент
+1) **<u>Математическое ожидание</u>**
+   Если исх. признаки $X_{j}$ центрированы (т.е. $E[X_{j}]=0$), то математическое ожидание каждой ГК также равно нулю:
+   $$E[Z_{s}]=0$$
+2) **<u>Дисперсия</u>**
+   Дисперсия каждой ГК равна соотв. СЧ $\lambda_{s}$ ковариационной (корреляционной) матрицы исх. признаков:
+   $$D(Z_{s})=\lambda_{s}$$
+3) **<u>Ковариация</u>**
+   ГК являются некоррелированными между собой (взаимно ортогональны).
+   Ковариация между любыми компонентами равна нулю:
+   $$cov(Z_{s},Z_{l})=0,\ s \neq l$$
+4) **<u>Суммарная дисперсия</u>**
+   Сумма дисперсий всех главных компонент равна сумме дисперсий исх. признаков (следу ковар. матрицы)
+   $$\sum\limits_{s=1}^{k}D(Z_{s})=\sum\limits_{j=1}^{k}D(X_{j})=\sum\limits_{s=1}^{k}\lambda_{s}$$
+5) **<u>Показатель информативности</u>**
+   Для оценки того, какую часть информации описывает конкретная компонента (или набор из $m$ первых компонент), используется:
+   - Удельный вес дисперсии: $\large d_{s}=\frac{\lambda_{s}}{\Sigma \lambda_{s}}$
+   - Кумулятивная доля дисперсии: $\large D_{m}=\frac{\sum_{s=1}^{m} \lambda_{s}}{\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}}$
+1) **<u>Корреляция с исх. признаками (факторные нагрузки)</u>**
+   Коэфф. корреляции между исх. признаком $X_{i}$ и ГК $Z_{j}$ рассчитываются через элементы СВ $u_{ij}$ и СЧ:
+   $$r(X_{i},Z_{j})=\frac{u_{ij}\sqrt{\lambda_{j}}}{\sigma_{i}}$$