vault backup: 2026-05-24 15:03:28

90 Library/Math/Статистика/Факторный анализ/Определение первой и последующих компонент.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+---
+status: seed
+type: concept
+tags:
+  - math
+  - mephi
+  - statistics
+  - factor-analysis
+created: 2026-01-20
+updated: 2026-05-07
+title: Определение И Процедура Построения Первой И Последующих Компонент
+---
+
+# Определение И Процедура Построения Первой И Последующих Компонент
+## Определения Главных Компонент (ГК)
+- <u>Первая ГК $(Z_{1})$</u>: Это такая линейная комбинация исходных признаков $X=(X_{1},X_{2},\dots, X_{k})^{T}$, которая среди всех прочих комбинаций обладает наибольшей дисперсией.
+- <u>$s$-ая ГК ($$$Z_{s}$)</u>: Это линейная комбинация исходных признаков, которая не коррелирована с $(s-1)$ предыдущими главными компонентами и среди всех прочих лин. комбинаций обладает наибольшей дисперсией.
+
+## Оптимизационная Задача Для Построения 1 ГК
+Математически построение первой ГК сводится к поиску вектора весовых коэффициентов $U = (u_{11},u_{12},\dots,u_{1k})^{T}$.
+- **Целевая функция**: 
+  Максимизация дисперсии компоненты $D(Z_{1})=U_{1}^{T}\Sigma_{X}U_{1} \to \max$, $\Sigma_{X}$ - ковариационная матрица исх. признаков.
+- **Ограничение**: Вектор коэффициентов должен быть нормирован: $U_{1}^{T}U_{1}=1$
+