vault backup: 2026-05-24 15:03:28

2026-05-24 15:03:28 +03:00
parent 6189cfdd1c
commit 7335ca7c23
705 changed files with 18360 additions and 154 deletions
@@ -0,0 +1,40 @@
+---
+status: seed
+type: concept
+tags:
+  - math
+  - statistics
+  - factor-analysis
+created: 2026-01-20
+updated: 2026-05-07
+title: Матрица Нагрузок И Её Свойства
+---
+
+# Матрица Нагрузок И Её Свойства
+
+## Определение
+Матрица нагрузок $A$ - это матрица, эл-тами которой являются коэффициенты корреляции между исходными признаками $X_{i}$ и ГК $Z_{j}$
+
+Элемент матрицы $a_{ij}$ показывается тесноту линейной связи $i$-го признака с $j$-ой компонентой. 
+В случае использования центрированно-нормированных признаков, расчет ведется по формуле: $a_{ij}=u_{ij}\sqrt{\lambda_{j}}$,  где $u_{ij}$ - $i$-ая координата $j$-го СВ, а $\lambda_j$ - $j$-ое СЧ ковариационной матрицы.
+
+## Свойства Матрицы Нагрузок
+- **<u>Свойство строк (Общность)</u>**:
+  Сумма квадратов нагрузок в $i$-ой строке по всем $k$ компонентам равна дисперсии соответствующего исходного признака. Для нормированных признаков эта сумма равна 1:
+  $$\sum\limits_{j=1}^{k}a_{ij}^{2}=D(X_{i})=1$$
+- **<u>Свойство столбцов (Вклад компоненты)</u>**:
+  Сумма квадратов нагрузок в $j$-ом столбце равна СЧ $\lambda_{j}$, которое является дисперсией $j$-й ГК:
+  $$\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ij}^{2}=\lambda_{i}=D(Z_{i})$$
+- **<u>Ортогональность</u>**:
+  Сумма произведений нагрузок любых двух различных столбцов равна нулю, что подтверждает некоррелированность ГК:
+  $$\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ij}a_{il}=0,\ i \neq l$$
+- **<u>Воспроизведение корреляций</u>**:
+  Сумма произведений нагрузок $i$-го и $l$-го признаков по всем компонентам равна коэффициенту корреляции между этими признаками ([[Фундаментальная теорема факторного анализа]]):
+  $$\sum\limits_{j=1}^{k}a_{ij}a_{li}=r(X_{i}mX_{l})$$
+## Интерпретация
+- **<u>Вес нагрузки</u>**:
+  Чем выше абсолютное значение $|a_{ij}|$, тем сильнее данный признак определяет содержание компоненты.
+- **<u>Знак нагрузки</u>**:
+  Указывает направления связи (прямая или обратная)
+- **<u>Цель вращения</u>**:
+  Если нагрузки распределены "размазано" (много средних значений), то применяется вращение, чтобы получить **простую структуру**, где нагрузки близки к 1 или 0.