vault backup: 2026-05-24 15:03:28

2026-05-24 15:03:28 +03:00
parent 6189cfdd1c
commit 7335ca7c23
705 changed files with 18360 additions and 154 deletions
@@ -0,0 +1,59 @@
+---
+status: seed
+type: concept
+tags:
+  - mephi
+  - math
+  - statistics
+  - factor-analysis
+created: 2026-01-21
+updated: 2026-05-07
+title: Вращение Факторов
+---
+
+# Вращение Факторов
+
+## Задача Вращения Общих Факторов
+Построение простой структуры, т.е. такого расположения признаков, при котором они находятся вблизи от координатных осей или в непосредственной близости к началу координат.
+Вращение не изменяет общностей и суммарной объясненной дисперсии, а служит исключительно для повышения интерпретации факторов.
+
+## Пространство Общих Факторов
+**<u>Пространство общих факторов</u>** - пространство, координатами которого являются нагрузки признака на общие факторы. 
+$d_{l}^{оф}=\sqrt{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{\alpha}}=h_{i}$ - длина вектора, соответствующего $i$-му, признаку в пространстве общих факторов.
+$\rho(x_{i}, x_{l})^{оф}=\cos(\phi_{il}^{оф})=\frac{1}{h_{i}h_{l}}\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}a_{lr}$ ![[Pasted image 20260121124001.png|300]]
+
+## Полное Факторное Пространство
+Включает общие и характерные факторы
+$d_{i}^{П}=\sqrt{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{2}+d_{i}^{2}}=1$ - длина вектора, соответствующего $i$-ому признаку, в полном факторном пространстве ($=1$ т.к. это дисперсия, а признаки были нормированы)
+
+$\rho(x_{i},x_{l})^{П}=\cos(\phi_{il}^{П})=\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}a_{lr}$
+
+## Вращение Факторов
+Осуществляется умножением матрицы факторных нагрузок $A$ на матрицу преобразования $T$: $A^{*}=AT$
+
+### Ортогональное
+- все факторы поворачиваются на **один и тот же** угол
+- факторы остаются некоррелированными
+Матрица $T$ - ортогональна: $T^{T}T=E$
+<u>Примеры</u>: варимакс, квартимакс, биквартимакс, эквимакс
+
+![[Pasted image 20260121124452.png|300]] 
+$\vec{e_{1}}=\pmatrix{1\\0}$, $\vec(e)_{2}=\pmatrix{0\\1}$ - единичные вектора в исходной системе координат.
+$\vec{e}_{1}^{'}=\pmatrix{\cos{\alpha}\\-\sin{\alpha}}$, $\vec{e}_{2}^{'}=\pmatrix{\sin{\alpha}\\\cos{\alpha}}$
+$T = \pmatrix{\cos{\alpha} & \sin{\alpha}\\-\sin{\alpha} & \cos{\alpha}}$
+
+### Косоугольное
+- факторы могут поворачиваться на **разные** углы
+- между факторами возникают корреляции
+Используется неортогональные матрицы преобразования
+<u>Примеры</u>: облимакс, квартимин, облимин
+
+### Варимакс
+**Цель**: максимизировать дисперсии квадратов факторных нагрузок **по переменным для каждого фактора**, что приводит к простой структуре.
+Чаще используется **варимакс нормализованных ф.н.** 
+$$V_{r}=\frac{k\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ir}^{4}-(\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ir}^{2})^{2}}{k^{2}} \to \max,\ r=\overline{1,m}$$
+### Квартимакс
+**Цель**: максимизировать дисперсию квадратов нагрузок по **факторам для каждой переменной**, т.е. надо *связать каждый признак с минимальным числом факторов*.
+$$q = \sum\limits_{i=1}^{k}\frac{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{4}-(\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{2})^{2}}{m^{2}} \to \max$$
+работает по строкам матрицы нагрузок.
+Стремление к тому, чтобы каждый признак имел одну большую нагрузку, и минимум остальных.