vault backup: 2026-05-24 15:03:28

90 Library/Math/Статистика/Временные ряды/Разложение Вольда.md

@@ -0,0 +1,31 @@
+---
+status: processing
+type: concept
+tags:
+  - math
+  - mephi
+  - ml
+  - statistics
+  - time-series
+created: 2026-01-21
+updated: 2026-05-07
+title: Разложение Вольда
+---
+
+# Разложение Вольда
+## Теорема Вольда
+$$x_{t}-\mu =\sum\limits_{\tau=0}^{\infty}\psi_{\tau}*\epsilon_{t-\tau}\qquad (\sum\limits_{\tau=0}^{\infty}\psi_{\tau}<\infty,\quad\psi_{0}=1)$$
+Где:
+$x_{t}$ - чисто недетерминированный стационарный в широком смысле случайный процесс;
+$\mu$ - мат.ожидание процесса;
+$\psi_{\tau}$ - весовые коэффициенты;
+$\epsilon_{t-\tau}$ - белый шум с конечным мат. ожиданием и дисперсией.
+
+> $\psi_{0}=1$ т.к. реализации белого шума ненаблюдаемы, весовые коэффициенты определены с точностью до множителя.
+
+Любой стационарный процесс может быть представлен в виде бесконечного ряда членов белого шума с коэффициентами, образующими абсолютно сходящийся числовой ряд.
+
+Это означает, что стационарный $AR(I)$ процесс можно представить, как процесс $MA(\infty)$. Данное свойство называется **<u>обратимостью</u>**.
+ 
+Таким образом, нет фундаментальной разницы между $AR$ и $MA$ представлением ВР.
+