backup: 2026-04-17 11:28

01 Library/03 Math/Теория нечетких множеств/Доказательство законов Де Моргана.md

@@ -0,0 +1,34 @@
+---
+status: seed
+type: concept
+tags:
+  - math
+created: 2025-12-17
+updated: 2026-03-05
+title: Доказательство законов Де Моргана
+---
+
+# Доказательство законов Де Моргана
+
+
+## $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
+
+$$1 - \mu_{A \cup B}(u)=1 - \max (\mu_{A}(u);\ \mu_{B}(u))$$
+$$\overline{A} \cap \overline{B} = \min(1-\mu_{A}(u);\ 1-\mu_{B}(u))$$
+Предположим, что $\mu_{B}(u) > \mu_{A}(u)$, тогда $1-\mu_{B}(u)=1-\mu_{B}(u)$
+
+## $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
+
+$$1-\mu_{A \cap B}=1 -min(\mu_{A}(u);\ \mu_{B}(u))$$
+$$\overline{A} \cup \overline{B} = max(1 - \mu_{A}(u);\ 1-\mu_{B}(u))$$
+Пусть $\mu_{B}(u)>\mu_{A}(u)$, тогда $1-\mu_{A}(u)=1-\mu_{A}(u)$
+
+## $\overline{A * B} = \overline{A} + \overline{B}$
+
+$$(\mu_{\overline{A}}(u) + \mu_{\overline{B}}(u) - \mu_{\overline{A}}(u)\mu_{\overline{B}}(u)) = $$
+$$= 1-\mu_{A}(u) + 1 - \mu_{B}(u) - 1 + \mu_{A}(u) + \mu_{B}(u)-\mu_{A}(u)\mu_{B}(u)=$$
+$$= 1 - \mu_{A}(u) \mu_{B}(u)$$ 
+## $\overline{A + B} = \overline{A} * \overline{B}$
+
+$$(1-\mu_{A}(u))*(1-\mu_{B}(u)) = 1-\mu_{A}(u)-\mu_{B}(u)+\mu_{A}(u)\mu_{B}(u) = $$
+$$1 - (\mu_{A}(u)+\mu_{B}(u)-\mu_{A}(u)\mu_{B}(u))$$