backup: 2026-04-17 11:28

01 Library/03 Math/Статистика/Факторный анализ/ФА - модель, цель, сущность.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+---
+status: stable
+type: concept
+tags:
+  - math
+  - ml
+  - mephi
+updated: 2026-02-27
+title: ФА - Модель, Цель, Сущность
+created: 2026-02-13
+---
+
+# ФА - Модель, Цель, Сущность
+**Факторы**  - гипотетические (латентные), непосредственно не измеряемые переменные, которые в той или иной мере связаны с измеряемыми характеристиками (исходными признаками). Основной идеей ФА выступает предположение, что структура связей между признаками может быть объяснена тем, что эти признаки зависят от **меньшего**  количества другие, **общих** факторов.
+Что позволяет снизить размерность признакового пространства от количества исходных признаков, до меньшего количества общих факторов.
+
+**Цель:** найти такие факторы или такую матрицу  $R_h$, чтобы минимизировать $D^2$.
+
+## Линейная Модель ФА
+
+Каждый исходный признак  ($x_{j}$), который, является **центрированно-нормированным**, представляется в виде линейной комбинации:
+
+- $m$ - общих факторов
+- **одного** характерного фактора - $v_i$
+
+Модель описывается уравнением: $x_ij = a_{i1}f_{1j}+a_{i2}f_{2j}+\dots+a_{im}f_mj+d_iv_{ij}$
+
+$f_{rj}$ - значение $r$-го общего фактора для $j$-го объекта
+
+$v_{ij}$ - значение $i$-го характерного фактора для $j$-го объекта
+
+$x_{ij}$ - значение $i$-го исходного признака на $j$-ом объекте
+
+**Центрировано-нормированные признаки**
+
+- **Центрированность** означает, что мат.ожидание каждого признака равна нулю ($M(x_i) = 0$)
+- **Нормированность** означает, что дисперсия каждого признака равна единице ($D(x_i) = 1$) 
+
+## Дисперсии
+
+В отличии от Метода Главных Компонент (МГК), Факторный Анализ предполагает, что $m$ общими факторами _нельзя_ полностью объяснить вариацию исходных признаков. Дисперсия исходного признака  $x_i$ раскладывается на две компоненты:
+
+1. Общность - ($h_i^2$): доля дисперсии  $i$-ого признака, объясняемая $m$ общими факторами: $h_i^2 = \sum_{r=1}^{m} a_{ir}^{2}$
+2. Характерность - ($d_i^2$): вклад в дисперсию  $i$-го признака, характерного фактора $v_i$ (который нельзя объяснить _общими_ факторами)
+
+Тогда, для центрировано-нормированных признаков, дисперсия которых равна **единице** справедливо:  $h_i^2 + d_i^2 = 1$
+
+## Фундаментальная Теорема ФА
+
+Выражение, позволяющее воспроизвести корреляционную матрицу исходных признаков  $R$ через матрицу факторного отображения $A$ и матрицу характерностей $D^2$:
+
+$R = AA^{T} + D^2$,
+
+где $D^2$ - диагональная матрица с характерностями на главной диагонали.