backup: 2026-04-17 11:28

01 Library/03 Math/Статистика/Временные ряды/Авторегрессия AR.md

@@ -0,0 +1,58 @@
+---
+status: seed
+type: concept
+tags:
+  - mephi
+  - math
+created: 2026-01-21
+updated: 2026-02-27
+title: Авторегрессия AR
+---
+
+# Авторегрессия AR
+## Авторегрессия Первого Порядка
+$AR(I)$ - процесс авторегрессии 1-го порядка (зависимость текущего значения ВР от предыдущего)
+$x_{t}=\mu+a_{i}x_{t-1}+\epsilon_{t},\quad |a|<1\ (\epsilon - \text{процесс белого шума})$
+$|a|<1$ - Необходимое условие стационарности $AR(I)$
+
+Докажем, что $M=\frac{\mu}{1-a_{1}}$; $\quad \gamma_{0}=\frac{\sigma^{2}}{1-a_{1}^{2}}$; $\quad \gamma_{k}=a_{1}^{k}\frac{\sigma^{2}}{1-a_{1}^{2}}$
+Из того, что $\rho_{k}=a_{1}^{2}$ следует, что АКФ для $AR(I)$ экпоненциально (монотонно) убывает с ростом $k$ - при $a_{1}>0$, либо осциллирующе затухает (экспоненциально затухающие синусоидальные волны) при $a_{1}<0$
+
+По определению АКФ(1) = ЧАКФ(1)
+
+Для $k>1$ ЧАКФ процесса $AR(I)$ равна 0.
+
+> [!note] Характеристическое свойство $AR(I)$
+> Только первое значение ВЧАКФ для $AR(I)$ выходит за пределы доверительной трубки
+
+## Авторегрессия Второго Порядка
+$AR(II)$ - процесс авторегресии 2-го порядка.
+$x_{t}=a_{1}*x_{t-1}+a_{2}*x_{t-2}+\epsilon_{t}$
+
+Условие стационарности: $|\lambda_{1}|<1,\ |\lambda_{\alpha}|<1$
+При выполнении условия стационарности АКФ процесса $AR(II)$ убывает экспоненциально, **когда корни действительны.**
+Не затухает с осцилляцией (изменяется по синусоиде с экспоненциально убывающей амплитудой), **если корни комплексные.**
+
+ЧАКФ процесса $AR(II)$ равна 0, если $k>2$.
+
+> [!note] Характеристическое свойство $AR(II)$$
+> Только первые два значения ВЧАКФ  для $AR(II)$ выходят за пределы доверительной области
+
+## Авторегрессия Порядка $p$
+$$x_{t} = \mu + a_{1}x_{t-1}+\dots+a_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t}$$
+с использованием [[Лаговый оператор|лагового оператора]]:
+$$x_{t}=\mu+a_{1}Lx_{t}+\dots+a_{p}L^{p}x_{t}+\epsilon_{t}$$
+$$(1-a_{1}L-\dots-a_{p}L^{p})x_{t}=\mu+\epsilon_{t}$$
+Характ. уравнение 1: $1-a_{1}z-\dots-a_{p}z^{p}=0$
+Характ. уравнение 2: $\lambda^{p}-a_{1}\lambda^{p-1}-\dots-a_{p}\lambda^{0}=0$
+
+### Условие Стационарности
+1) все корни Х.У. 1 по модулю $> 1$ $(|z_{j}|>1)$
+2) все корни Х.У. 2 по модулю $< 1$ $(|\lambda_{j}|<1)$
+
+АКФ при **отсутствии кратных корней** соотв. Х.У. будет экспоненциально затухать;
+**если корни вещественные**, то просто затухает;
+**если комплексные**, то затухание с осцилляцией.
+
+ЧАКФ теоретическое $= 0$ для всех значений $k>p$.
+Для ВЧАКФ только первые $p$ компонент выходят за Д.И.