vault backup: 2026-05-29 07:44:14

90 Library/Math/Теория нечетких множеств/Логические операции над нечеткими множествами.md

@@ -1,12 +1,14 @@
 ---
-status: seed
+status: processing
 type: concept
 tags:
   - math
+  - mephi
   - fuzzy-sets
 created: 2025-12-17
-updated: 2026-05-07
+updated: 2026-05-29
 title: Логические операции над нечеткими множествами
+source: "[[МИАД_Л1.pdf]]"
 ---
 
 # Логические операции над нечеткими множествами
@@ -37,7 +39,60 @@ title: Логические операции над нечеткими множ
 ## Разность
 Разностью двух множеств называется множество $A - B = A \cap \overline{B}$ с функцией принадлежности: $$\mu_{A-B}(u)=\mu_{A \cap \overline{B}}(u) = \min(\mu_{A}(u),\mu_{\overline{B}}(u)) = \min(\mu_{A}(u), 1-\mu_{B}(u))$$
 
+## Дизъюнктивная сумма
+
+Дизъюнктивная сумма:
+
+$$A \oplus B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$$
+
+$$\mu_{A \oplus B}(u) = \max(\min(\mu_A(u), 1 - \mu_B(u)), \min(1 - \mu_A(u), \mu_B(u)))$$
+
+## Свойства
+
+Для конъюнкции и дизъюнкции выполняются:
+- коммутативность;
+- ассоциативность;
+- идемпотентность;
+- дистрибутивность;
+- инволюция;
+- законы де Моргана.
+
+Не выполняются классические свойства дополнения:
+
+$$A \cup \overline{A} \ne U$$
+
+$$A \cap \overline{A} \ne \varnothing$$
+
+## Алгебраические операции
+
+Алгебраическое произведение:
+
+$$\mu_{A \cdot B}(u) = \mu_A(u)\mu_B(u)$$
+
+Алгебраическая сумма:
+
+$$\mu_{A + B}(u) = \mu_A(u) + \mu_B(u) - \mu_A(u)\mu_B(u)$$
+
+Степень нечеткого множества:
+
+$$\mu_{A^\alpha}(u) = \mu_A^\alpha(u)$$
+
+При $\alpha = 2$ получается концентрирование, при $\alpha = 0.5$ — растяжение.
+
+## Нечеткие операторы
+
+Операции объединения, пересечения и отрицания можно обобщать разными способами.
+
+Треугольная норма — обобщение конъюнкции. Примеры: минимум, алгебраическое произведение, t-норма Лукасевича.
+
+Треугольная конорма — обобщение дизъюнкции. Примеры: максимум, алгебраическая сумма, t-конорма Лукасевича.
+
+Основные пары операций:
+- логика Заде — `min` и `max`;
+- вероятностная логика — алгебраическое произведение и алгебраическая сумма;
+- логика Лукасевича — t-норма и t-конорма Лукасевича.
+
 ## Связанные заметки
 - [[Линейные модели]] — линейная разделимость в ML (жёсткая граница) vs нечёткие операции (мягкая граница); оба решают задачу разделения классов
 - [[Функция принадлежности]] — операции определены через μ
-
+- [[Нечеткий вывод]] — разные импликации используют разные операции над функциями принадлежности