vault backup: 2026-05-29 07:44:14

2026-05-29 07:44:14 +03:00
parent 2f2579f5aa
commit 1473371ed4
16 changed files with 395 additions and 44 deletions
@@ -0,0 +1,82 @@
+---
+status: seed
+type: concept
+tags:
+  - math
+  - mephi
+  - decision-making
+created: 2026-05-29
+updated: 2026-05-29
+title: Метод анализа иерархий
+source: "[[МИАД_Л4_иерархии.pdf]]"
+---
+
+# Метод анализа иерархий
+
+Метод анализа иерархий (МАИ) используется для выбора лучшей альтернативы при нескольких критериях, в том числе разнородных и качественных.
+
+## Идея
+
+Задача выбора раскладывается на иерархию:
+- цель;
+- критерии и подцели;
+- альтернативы.
+
+Затем элементы каждого уровня попарно сравниваются по влиянию на элемент верхнего уровня.
+
+## Шкала Саати
+
+Попарные сравнения обычно задаются 9-балльной шкалой:
+- `1` — нет преимущества;
+- `3` — слабое преимущество;
+- `5` — существенное преимущество;
+- `7` — явное преимущество;
+- `9` — абсолютное преимущество;
+- `2`, `4`, `6`, `8` — промежуточные оценки;
+- обратные значения — преимущество в обратную сторону.
+
+Матрица сравнений обратно-симметрична:
+
+$$a_{ij} = \frac{1}{a_{ji}}$$
+
+## Этапы
+
+1. Описать проблему и цель.
+2. Построить иерархию критериев и альтернатив.
+3. Построить матрицы попарных сравнений.
+4. Вычислить локальные приоритеты.
+5. Проверить согласованность матриц.
+6. Повторить сравнения для всех уровней.
+7. Синтезировать глобальные приоритеты альтернатив.
+8. Оценить согласованность всей иерархии.
+
+## Локальные приоритеты
+
+Для матрицы попарных сравнений веса можно приближённо вычислить как среднее геометрическое строк:
+
+$$w_j = \sqrt[n]{\prod_{l=1}^{n} a_{jl}}$$
+
+После этого веса нормируются, чтобы получить вектор приоритетов.
+
+## Согласованность
+
+Полностью согласованная матрица обладает транзитивностью:
+
+$$a_{ij} = a_{ik}a_{kj}$$
+
+На практике экспертные суждения обычно не полностью согласованы, поэтому считают индекс согласованности:
+
+$$CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1}$$
+
+И отношение согласованности:
+
+$$CR = \frac{CI}{RI}$$
+
+Обычно приемлемым считают $CR \le 10\%$.
+
+## Результат
+
+Итог МАИ — глобальные приоритеты альтернатив. Чем выше приоритет, тем предпочтительнее альтернатива в рамках построенной иерархической модели.
+
+## Связанные заметки
+- [[Функция принадлежности]]