---
status: seed
type: concept
tags:
  - math
  - mephi
created: 2026-01-20
updated: 2026-02-27
title: Алгоритм Оценки Главных Компонент
---

# Алгоритм Оценки Главных Компонент
1) **<u>Подготовка исходных данных</u>**
   - **Центрирование**:
     $$x_{ij}^{*}=x_{ij}-\overline{x_{j}}$$
   - **Нормирование**:
     $$x_{ij}^{*}=\frac{x_{ij}-\overline{x_{j}}}{\sigma_{j}}$$
1) **<u>Вычисление выборочной матрицы</u>**
   Расчет выборочной ковариационной матрицы $\hat{\Sigma}$, которая описывает структуру связей между признаками.
2) **<u>Проверка значимости корреляционной матрицы (Критерий Бартлетта)</u>**
   Перед поиском компонент необходимо убедиться, что признаки вообще коррелированы между собой.
   - **Гипотеза $H_{0}$**: Матрица единична $(R=E)$, т.е. признаки не коррелированы.
   - **Статистика критерия**: $\chi^{2}=-[n-1-\frac{2k+5}{6}]\ln|\hat{R}|$
   - Если расчетное значение больше критического, то проведение МГК считается целесообразным.
1) **<u>Расчет СЧ и СВ</u>**
2) **<u>Определение количества ГК</u>**
   Из $k$ возможных компонент отбирают $m$ наиболее информативных.
   - **Критерий Кайзера**: $\lambda_{s} > 1$
   - **Доля дисперсии**: Суммарная дисперсия должна составлять $70-80\%$
   - **Каменистая Осыпь**: Визуальный анализ графика СЧ.
1) **<u>Оценка матрицы факторных нагрузок</u>**
   $$A = U^{T}\lambda^{\frac{1}{2}}$$
2) **<u>Расчет индивидуальных значений</u>**
   $$\hat{Z}=X\hat{U}$$
3) **<u>Интерпретация результатов</u>**
   На основе наиболее весомых нагрузок в матрице $A$ каждой ГК присваивается содержательное название.