---
status: stable
type: concept
tags:
  - math
  - ml
  - mephi
updated: 2026-02-27
title: Моделирование Временных Рядов
created: 2026-02-13
---

# Моделирование Временных Рядов
## Модели Авторегрессии

Одномерные случайные процессы:

### I. $AR(1)$ Процесс Авторегрессии 1-го Порядка

$x_t = \mu + \alpha_1 x_{t-1} + \epsilon_t$, где $|\alpha_1| < 1$ - **необходимое** условие стационарности.

$M = \frac{\mu}{1-\alpha_1}$

$\gamma_0 = \frac{\sigma^2}{1-\alpha_1^2}$, где $\rho_k = \alpha_1^k$

$\gamma_k = \alpha_1^k * \frac{\sigma^2}{1-\alpha_1^2}$

Значит, АКФ для $AR(1)$:

1. Экспоненциально убывает с ростом лага $k$ при  $\alpha_1 > 0$
2. Осцилирующе затухает при $\alpha_1 < 0$

    По определению АКФ(1) = ЧАКФ(1). ЧАКФ процесса $AR(1)$ равна нулю при значениях $k>1$.

**Характеристическое свойство** $AR(1)$

Только первое значение ВЧАКФ для $AR(1)$ процесса выходит за пределы доверительной трубки

### II. $AR(2)$ Процесс Авторегреcсии 2-го Порядка

$$\large x_t = \mu + \alpha_1 x_{t-1} + \alpha_2 x_{t-2} + \epsilon_t$$

Характеристическое уравнение: $\lambda^2 - \alpha_1\lambda-\alpha_2 = 0$, где $|\alpha_1| < 1\ и\ |\alpha_2| < 1$ - **необходимые условия стационарности**.

При выполнении условий стационарности АКФ процесса $AR(2)$:

1. Экспоненциально убывает, если корни дейтвительны
2. Осцилирующе затухает, если корни комплексные

ЧАКФ процесса AR(2) равна нулю, при $k>2$

**Характеристическое свойство** $AR(2)$

Только первые два значения ВЧАКФ для $AR(2)$ процесса выходят за пределы доверительной трубки.

Лаговый оператор (для $AR(3)$):  $\begin{matrix} L(x_t) = x_{t-1} \\ L^2(x_t) = L(L(x_t)) = L(x_{t-1}) = x_{t-2} \end{matrix}$

### III. $AR(p)$ Процесс Авторегрессии $p$-го Порядка

$$x_t = \mu + \alpha_1 x_{t-1} + \dots + \alpha_p x_{t-p} + \epsilon_t = \mu + \alpha_1 L(x_t) + \dots + \alpha_p L^p (x_t) + \epsilon_t$$

$$x_t - \alpha_1 L(x_t) + \dots + \alpha_p L^p(x_t) = \mu + \epsilon_t$$

$$(1 - \alpha_1L + \dots + \alpha_p L^p) * x_t = \mu + \epsilon_t$$

Характеристическое уравнение: $\begin{matrix} 1 - \alpha_1 z + \dots + \alpha_p z^p = 0, \text{где}\ |z_j| > 1 \\ \lambda - \alpha_1 \lambda^{p-1} - \dots - \alpha_p \lambda^0 = 0, \text{где}\ |\lambda_j| < 1 \end{matrix}$

## Модели Скользящего Среднего (СС)

Скользящее среднее - Moving Average

Теорема Вольда: $x_t - \mu = \sum_{T=0}^{\infin} \psi_T \epsilon_{t-T}$, где $\psi_{T}$ - весовые коэффициенты,  $\epsilon_{t-T}$ - белый шум.

- $\sum_{T=0}^{\infin} \psi_T < \infin$
- Т.к. реалзации **белого шума ненаблюдаемы,** то весовые коэффиенты определены с точностью до множителя, поэтому $\psi_0 = 1$.

Процесс скользящего среднего порядка $q$ - стохастический процесс, в разложении **Вольда** которого присутствует только $q$ слагаемых, где  $q$ - число параметров СС.

1. $MA(1): x_t = \epsilon_t + \beta_1 \epsilon_{t-1}$

    Характеристики: $\begin{matrix} M = 0 & \gamma_1 = \beta_1 \sigma^2 \\ \\ \gamma_0 = (1+\beta_1^2) \sigma^2 & \gamma_2 = \gamma_3 = \dots = 0 \\ \\ \gamma_0\ и\ \gamma_1 \neq 0 & p_1 = \frac{\beta_1}{1+ \beta_1^2};\ p_2 = p_3 = \dots = 0 \end{matrix}$
2. $MA(2): x_t = \epsilon_t + \beta_1 \epsilon_{t-1} + \beta_2 \epsilon_{t-2}$
3. $MA(q): x_t = \epsilon_t + \beta+1 \epsilon_{t-1} + \beta_2 \epsilon_{t-2} + \dots + \beta_q \epsilon_{t-q} =$
    $= \epsilon_t + \beta_1 L^1(\epsilon_t) + \beta_2 L^2(\epsilon_t) + \dots + \beta_q L^q(\epsilon_t) = (1 + \beta_1 L^1(\epsilon_t) + \dots + \beta_q L^q(\epsilon_t))\epsilon_t$

Процесс стационарен при любых значениях $\beta_1, \dots, \beta_q$.

$1 + \beta_1 L^1(\epsilon_t) + \dots + \beta_q L^q(\epsilon_t)$ == 1 + лин.комбинация лаговых операторов

$\forall\ \text{процесс СС. стационарен при}\ \forall \beta \\ x\ \text{зависит только от белых шумов}$