---
status: seed
type: concept
tags:
  - mephi
  - math
created: 2026-01-18
updated: 2026-02-27
title: Модели Скользящего Среднего
---

# Модели Скользящего Среднего
Теорема Вольда: $x_{t}-\mu = \Sigma_{T=0}^{\infty}\ \psi_{T}\ \epsilon_{t-T}$,  где $\psi_{T}$ - весовые коэффициенты, $\epsilon_{t-T}$ - белый шум.

- $\Sigma_{T=0}^{\infty}\ \psi_{T} < \infty$
- Т.к. реализации <u>белого шума ненаблюдаемы</u>, то весовые коэффициенты определены с точностью до множителя, поэтому $\psi_{0}=0$

Процесс скользящего среднего порядка $q$ - стохастический процесс, в разложении *Вольда* которого присутствует только $q$ слагаемых, где $q$ - число параметров Скользящего Среднего.

1) $MA(1):x_{t}=[\psi_{0}=1]*\epsilon_{t}+\beta_{1}\epsilon_{t-1}$
   Характеристики: $\begin{matrix} M=0 && \gamma_{1}=\beta_{1}\sigma^{2} \\ \gamma_{0}=(1+\beta_{1}^{2})\sigma^{2} && \gamma_{2}=\gamma_{3} = \dots = 0 \end{matrix}$ $\ \ \gamma_{0}\ и\ \gamma_{1} \neq 0$
   $\rho_{1}=\frac{\beta_{1}}{1+\beta_{1}^{2}};\ \rho_{2}=\rho_{3}=\dots=0$ - значение автокорреляционной функции.
2) $MA(2):x_{t}=\epsilon_{t}+\beta_{1}\epsilon_{t-1}+\beta_{2}\epsilon_{t-2}$