---
status: stable
type: concept
tags:
  - mephi
  - math
created: 2026-01-20
updated: 2026-02-27
title: Основные Числовые Характеристики Главных Компонент
---

# Основные Числовые Характеристики Главных Компонент
1) **<u>Математическое ожидание</u>**
   Если исх. признаки $X_{j}$ центрированы (т.е. $E[X_{j}]=0$), то математическое ожидание каждой ГК также равно нулю:
   $$E[Z_{s}]=0$$
2) **<u>Дисперсия</u>**
   Дисперсия каждой ГК равна соотв. СЧ $\lambda_{s}$ ковариационной (корреляционной) матрицы исх. признаков:
   $$D(Z_{s})=\lambda_{s}$$
3) **<u>Ковариация</u>**
   ГК являются некоррелированными между собой (взаимно ортогональны).
   Ковариация между любыми компонентами равна нулю:
   $$cov(Z_{s},Z_{l})=0,\ s \neq l$$
4) **<u>Суммарная дисперсия</u>**
   Сумма дисперсий всех главных компонент равна сумме дисперсий исх. признаков (следу ковар. матрицы)
   $$\sum\limits_{s=1}^{k}D(Z_{s})=\sum\limits_{j=1}^{k}D(X_{j})=\sum\limits_{s=1}^{k}\lambda_{s}$$
5) **<u>Показатель информативности</u>**
   Для оценки того, какую часть информации описывает конкретная компонента (или набор из $m$ первых компонент), используется:
   - Удельный вес дисперсии: $\large d_{s}=\frac{\lambda_{s}}{\Sigma \lambda_{s}}$
   - Кумулятивная доля дисперсии: $\large D_{m}=\frac{\sum_{s=1}^{m} \lambda_{s}}{\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}}$
1) **<u>Корреляция с исх. признаками (факторные нагрузки)</u>**
   Коэфф. корреляции между исх. признаком $X_{i}$ и ГК $Z_{j}$ рассчитываются через элементы СВ $u_{ij}$ и СЧ:
   $$r(X_{i},Z_{j})=\frac{u_{ij}\sqrt{\lambda_{j}}}{\sigma_{i}}$$