---
status: seed
type: concept
tags:
  - mephi
  - math
created: 2026-01-21
updated: 2026-02-27
title: Вращение Факторов
---

# Вращение Факторов

## Задача Вращения Общих Факторов
Построение простой структуры, т.е. такого расположения признаков, при котором они находятся вблизи от координатных осей или в непосредственной близости к началу координат.
Вращение не изменяет общностей и суммарной объясненной дисперсии, а служит исключительно для повышения интерпретации факторов.

## Пространство Общих Факторов
**<u>Пространство общих факторов</u>** - пространство, координатами которого являются нагрузки признака на общие факторы. 
$d_{l}^{оф}=\sqrt{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{\alpha}}=h_{i}$ - длина вектора, соответствующего $i$-му, признаку в пространстве общих факторов.
$\rho(x_{i}, x_{l})^{оф}=\cos(\phi_{il}^{оф})=\frac{1}{h_{i}h_{l}}\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}a_{lr}$ ![[Pasted image 20260121124001.png|300]]

## Полное Факторное Пространство
Включает общие и характерные факторы
$d_{i}^{П}=\sqrt{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{2}+d_{i}^{2}}=1$ - длина вектора, соответствующего $i$-ому признаку, в полном факторном пространстве ($=1$ т.к. это дисперсия, а признаки были нормированы)

$\rho(x_{i},x_{l})^{П}=\cos(\phi_{il}^{П})=\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}a_{lr}$

## Вращение Факторов
Осуществляется умножением матрицы факторных нагрузок $A$ на матрицу преобразования $T$: $A^{*}=AT$

### Ортогональное
- все факторы поворачиваются на **один и тот же** угол
- факторы остаются некоррелированными
Матрица $T$ - ортогональна: $T^{T}T=E$
<u>Примеры</u>: варимакс, квартимакс, биквартимакс, эквимакс

![[Pasted image 20260121124452.png|300]] 
$\vec{e_{1}}=\pmatrix{1\\0}$, $\vec(e)_{2}=\pmatrix{0\\1}$ - единичные вектора в исходной системе координат.
$\vec{e}_{1}^{'}=\pmatrix{\cos{\alpha}\\-\sin{\alpha}}$, $\vec{e}_{2}^{'}=\pmatrix{\sin{\alpha}\\\cos{\alpha}}$
$T = \pmatrix{\cos{\alpha} & \sin{\alpha}\\-\sin{\alpha} & \cos{\alpha}}$

### Косоугольное
- факторы могут поворачиваться на **разные** углы
- между факторами возникают корреляции
Используется неортогональные матрицы преобразования
<u>Примеры</u>: облимакс, квартимин, облимин

### Варимакс
**Цель**: максимизировать дисперсии квадратов факторных нагрузок **по переменным для каждого фактора**, что приводит к простой структуре.
Чаще используется **варимакс нормализованных ф.н.** 
$$V_{r}=\frac{k\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ir}^{4}-(\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ir}^{2})^{2}}{k^{2}} \to \max,\ r=\overline{1,m}$$
### Квартимакс
**Цель**: максимизировать дисперсию квадратов нагрузок по **факторам для каждой переменной**, т.е. надо *связать каждый признак с минимальным числом факторов*.
$$q = \sum\limits_{i=1}^{k}\frac{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{4}-(\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{2})^{2}}{m^{2}} \to \max$$
работает по строкам матрицы нагрузок.
Стремление к тому, чтобы каждый признак имел одну большую нагрузку, и минимум остальных.