---
status: seed
type: concept
tags:
  - math
  - mephi
created: 2026-01-20
updated: 2026-02-27
title: Факторный Анализ. Цели И Сущность. Постановка Задачи. Отличие От Анализа Главных Компонент
---

# Факторный Анализ. Цели И Сущность. Постановка Задачи. Отличие От Анализа Главных Компонент

## Цели И Сущность
**<u>Факторный анализ</u>** - совокупность методов, направленных на выявление скрытых (латентных) переменных, называемых **факторами**, которые объясняют связи между наблюдаемыми признаками.
- **<u>Сущность</u>** - предполагается, что корреляция между большим числом измеряемых характеристик обусловлена влиянием небольшого числа ненаблюдаемых факторов.
- **Цели**:
  - Сокращение размерности (переход к меньшему кол-ву признаков без существенной потери информации)
  - Выявление структуры данных (определения скрытых взаимосвязей и группировка признаков)
  - Интерпретация (присвоение выявленным факторам содержательного смысла)

## Постановка Задачи
В ФА каждый исходный признак $X_{i}$ представляется в виде линейной комбинации $m$ **общих** **факторов** и одного **характерного** (специфического) фактора.

$$X_{i}=a_{i1}F_{1}+a_{i2}F_{2}+\dots+a_{im}F_{m}+d_{i}U_{i}$$
Где:
1) $X_{i}$ - $i$-ый исходный признак ($i=1,\dots,k$)
2) $F_{j}$ - $j$-ый исходный фактор ($j=1,\dots,m$, причем, $m < k$)
   Эти факторы влияют на все или несколько признаков.
3) $a_{ij}$ - **факторная нагрузка**. (коэффициент корреляции между $i$-ым признаком и $j$-ым фактором)
4) $U_{i}$ - характерный фактор, влияющий только на признак $X_{i}$ (ошибка измерения или уникальные свойства)
5) $d_{i}$ - нагрузка характерного фактора.

## Отличия ФА От МГК

| Характеристика        | МГК                                                     | ФА                                                                                                  |
| --------------------- | ------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| Логика модели         | Компоненты - это линейные комбинации признаков          | Признаки - это лин. комбинации факторов                                                             |
| Цель                  | Максимизация объясненной общей дисперсии всех признаков | Объяснение **ковариации** между признаками                                                          |
| Структура дисперсии   | Вся дисперсия признака считается полезной               | Дисперсия делится на **общность** (объясняемая общими факторами) и **характерность** (уникальность) |
| Диагональ матрицы     | Полная корреляционная матрица (на диагонали единицы)    | Редуцированная матрица (на диагонали - оценки общностей)                                            |
| Количество переменных | Кол-во компонент может быть равно количеству признаков  | Количество факторов всегда строго меньше количества признаков                                       |
| Метод                 | Дедукция (от признаков к сумме)                         | Индукция (от скрытых причин к внешним проявлениям)                                                  |
