---
status: stable
type: concept
tags:
  - machine-learning
  - neural-networks
  - backpropagation
  - gradient-descent
created: 2025-12-17
updated: 2026-05-07
title: Обратное распространение ошибки
---

# Обратное распространение ошибки

**Обратное распространение ошибки** (*backpropagation*) - алгоритм вычисления градиентов функции ошибки по весам многослойной [[Нейронные сети|нейронной сети]]. Само обновление весов выполняет градиентный спуск или его модификации, а backpropagation отвечает за эффективный расчёт производных.

Главная идея: сначала сеть выполняет прямой проход и получает предсказание, затем ошибка распространяется от выходного слоя назад к предыдущим слоям. Для каждого веса считается, как изменение этого веса повлияло бы на итоговую ошибку.

## Как выглядит

![[Pasted image 20260507214813.png]]

## Где используется

Backpropagation нужен при обучении сетей с учителем:

$$
X^{(p)} \rightarrow Y^{(p)} \approx D^{(p)}
$$

где:

- $X^{(p)}$ - входной объект;
- $Y^{(p)}$ - выход сети;
- $D^{(p)}$ - целевой ответ;
- $p$ - номер обучающего примера.

Алгоритм применим к многослойным сетям, если функции активации дифференцируемы или хотя бы имеют используемую на практике производную почти всюду.

## Базовый цикл

1. Подать входной вектор $X$ на вход сети.
2. Выполнить прямой проход и получить выходы всех слоёв.
3. Посчитать ошибку $E$ между предсказанием $Y$ и целевым ответом $D$.
4. Посчитать локальную ошибку выходного слоя.
5. Распространить ошибку назад и посчитать локальные ошибки скрытых слоёв.
6. Найти градиенты по весам.
7. Обновить веса в направлении антиградиента.
8. Повторять до выполнения условия остановки: лимит эпох, малая ошибка, малая норма градиента или отсутствие улучшения.

## Ключевые формулы

Для квадратичной ошибки:

$$
E=\frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{m}(y_l-d_l)^2
$$

Обновление веса через градиентный спуск:

$$
w_{ij}(t+1)=w_{ij}(t)-\alpha\frac{\partial E}{\partial w_{ij}(t)}
$$

где:

- $w_{ij}$ - вес связи;
- $t$ - номер шага обучения;
- $\alpha$ - скорость обучения (*learning rate*);
- $\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}$ - производная ошибки по весу.

## Локальная ошибка

Для выходного слоя:

$$
\delta_l^{(2)}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})
$$

Для скрытого слоя:

$$
\delta_i^{(1)}
=
F'(S_i^{(1)})
\sum\limits_{l=1}^{m}
\delta_l^{(2)}w_{li}^{(2)}
$$

Смысл $\delta$: на выходном слое она показывает ошибку нейрона с учётом производной активации, а на скрытом слое собирает вклад ошибок следующего слоя, взвешенный связями.

## Что вынесено отдельно

- [[Backpropagation для сети с одним скрытым слоем]] - подробный математический вывод через правило цепочки.
- [[Backpropagation для многослойной нейронной сети]] - общий алгоритм для произвольного числа слоёв.

## Интуиция

Backpropagation - это не отдельный способ оптимизации, а способ быстро вычислить градиенты. Оптимизацию делает градиентный спуск или его модификации: SGD, Momentum, Adam и т.д.

Градиент веса получается как локальная ошибка нейрона, в который входит вес, умноженная на вход этого веса. Поэтому после обратного прохода обновление всех весов становится локальной операцией.

## Иллюстрации

![[Pasted image 20260417105754.png|536]]

![[Pasted image 20260417105833.png|540]]

## Связанные заметки

- [[Backpropagation для сети с одним скрытым слоем]]
- [[Backpropagation для многослойной нейронной сети]]
- [[Нейронные сети]]
- [[Линейные модели]]
